E' una estensione del t test per due campioni ( o del test z ) e si utilizza quando si vogliono confrontare le medie di piu' di due gruppi sotto la stessa ipotesi nulla e con lo stesso livello di significativita' .
Detta anche One-Way ( o semplice ), essenzialmente e' una estensione del t test per due campioni ma con la restrizione che i due o piu' gruppi siano livelli differenti della stessa variabile indipendente
Ad es. abbiamo come variabile indipendente la intensita' di allenamento ( 40 - 60 - 80 % di vo2max ) e come variabile dipendente la distanza percorribile dopo allenamento.

Perche' non si puo' usare il test t anche quando ci sono piu' di due gruppi?
Cioe' testando il primo gruppo nei confronti del secondo, poi il primo nei confronti del terzo e cosi' via?
Perche' si violerebbe la casualita' e il valore Alfa settato non sarebbe lo stesso per ogni gruppo.
ANOVA opera i confronti simultaneamente garantendo costante l'alfa.

Per i calcoli si fara' riferimento a programmi gia' predisposti per computer, anche se il calcolo e' molto semplice.

La tabella di Output ci da in particolare tre valori:
MSb = la varianza tra gruppi ( varianza vera )
MSw = la varianza all'interno dei gruppi ( errore di varianza )
F = il rapporto tra Msb e Msw cioe' il rapporto tra varianza vera e il suo errore
          ( la stessa cosa vista per l' omega quadro )

Al posto di t qui otteniamo F e le tavole sono tavole particolari con due scale di gradi di liberta', una orizzontale e una verticale.
Nota: quando i gradi della variabile indipendente sono due ( cioe' quando abbiamo due gruppi ) il valore di F e' uguale a t ( o meglio a t al quadrato ) e cio' conferma l'equivalenza tra i due metodi.

Ora, per MSb abbiamo il relativo grado di liberta', come per MSw

Il grado di liberta' per MSb lo andiamo a cercare nella prima riga della tabella,
e lo incrociamo con il valore di gradi di liberta' per MSw nella prima colonna.
Risultato:
Troviamo due numeri:
il primo in alto e' il valore da riferire a F a livello 0.05
il secondo ( in basso ) e' il valore da riferire a F a livello 0.01

Per ottenere il valore di F critico con Excel utilizzare la funzione
INV.F( livello, gradidiLiBRiga, gradidiLiBColonna )
Es.
INV.F( 0.05; 2, 8 ) restituisce 4.46
la funzione Excel Distrib.F( ) invece restituisce il livello di significativita' fornendo
il valore di F e i gradi di liberta'
Distrib.F( F, gradidiLiBRiga, gradidiLiBColonna )
Distrib.F( 4.46, 2, 8 ) restituisce 0.05



Ora, se il valore di F rilevato nel calcolo e' maggiore di quello corrispondente al livello che ci interessa ( 0.05 o 0.01 ), la statistica e' significativa.

Se i gradi di liberta' di MSb e MSw sono 3 e 12, e se F calcolato e' di 11
possiamo scrivere:
F(3,12) = 11, p < 0.05
Descrizione: F con 3 e 12 gradi di liberta' e' uguale a 11 ed e' significativo al livello 0.05.

Adesso che abbiamo definito significativa la differenza tra i gruppi ( cioe' la differenza non e' casuale ) possiamo eseguire un test di Follow-up.
Ci sono diversi metodi operativi: Scheffe', Newman-Keuls, Duncan's ecc.
Questi metodi servono a dire se tutti i gruppi sono differenti con una p < 0.05
( o < 0.01 ), quale gruppo e' il migliore, quale il peggiore.

Infine possiamo chiederci quanto sono significativi i nostri dati?

                                                                [ F * ( K -1 ) ] - ( K - 1 )
Omega quadro =   -----------------------------------
                                                      [ F * ( K - 1 ) ] + ( N - K ) + 1

Dove K e' il numero dei gruppi e N il numero totale di soggetti
Se ad es. Omega quadro e' uguale a 0.45 significa che il 45% della varianza totale e' da ascrivere al trattamento.

Per finire : si potrebbe utilizzare sempre ANOVA , qualunque sia il numero dei gruppi , da due in avanti . Si potrebbe cioe' fare a meno del t test ma viene mantenuto piu' per motivi storici che reali , come il caso piu' semplice di F .

Esempio pratico:
Alleniamo dei soggetti, dividendoli in tre gruppi:
Allenati al 80% del Vo2 Max
Allenati al 60% del Vo2 Max
Allenati al 40% del Vo2 Max
( questa intensita' di allenamento rappresenta la variabile indipendente )

Come test di controllo verificheremo quanti Km possono effettuare in seguito all'allenamento ( cioe' misuriamo la distanza coperta con una corsa di 12 minuti ).
( la variabile dipendente sara' rappresentata dai Km percorsi )

Ed ecco i risultati con excel :
anova esempio                                                          
  80%Vo2M       60%Vo2M       40%Vo2M                                      
km       12       9       6                                      
km       10       7       7                                      
km       11       6       2                                      
km       7           9       3                                      
km       10       4       2                                      
                                                                     
                                                                     
Analisi varianza: ad un fattore                                                                    
                                                                     
RIEPILOGO                                                                    
Gruppi       Analisi varianza: ad un fattore                                                          
                                                                   
      RIEPILOGO                                                          
      Gruppi       Conteggio       Somma       Media       Varianza                  
        80%Vo2M       5       50       10       3, 5                  
        60%Vo2M       5       35       7       4, 5                  
        40%Vo2M       5       20       4       5, 5

ANALISI VARIANZA                          
        Origine della variazione       SQ   gdl       MQ       F       Valore di significatività       F crit
                                                  Tra gruppi       90       2           45         10       0, 002781                                             3, 88529
                                                    In gruppi       54       12       4, 5                            
                                                                     
                                                          Totale       144       14                                      
                                                                     
In base ad F ( 10 ) vediamo che la significativita' del risultato e' di 0.028 circa
quindi p < 0.05
L' F critico ci dice che per essere significativo al 0.05 % serve una F >= a   3, 88529
Quindi in effetti la nostra statistica e' molto piu' significativa che a livello 0.05.

F(2,12) = 10, p < 0.05
Descrizione: F con 2 e 12 gradi di liberta' e' uguale a 10 ed e' significativo al livello 0.05.

Nota: A volte e' richiesto effettuare comparazioni su diverse variabili Dipendenti utilizzando lo stesso soggetto.
In molti casi il modo migliore per farlo e' utilizzare la Multivariata, ma, quando la variabile dipendente e' derivata da altre come nal caso della portata cardiaca ( gittata x frequenza ) il modello multivariata che utilizza tutte e 3 le varibili non e' valido.
Bisogna utilizzare una ANOVA fra tre gruppi calcolandola separatamente per ogni misura dipendente. Non solo, questo, sebbene valido, comporta un aumento del valore di Alfa stabilito per cui, si deve utilizzare un Alfa = ad Alfa / n.variabili.
Se Alfa e' settato a 0.05 e ci sono 3 variabili, Alfa diventa 0.05/3 = 0.17 cioe' la F dovra' raggiungere un Alfa di 0.17 per essere dichiarato significativo.

Un secondo modo e' quello di calcolare Alfa come:

Alfa =   1 -         [ ( 1 - Alfa ) elevato alla 3 ]      
Questo alfa rappresenta L' Upper Limit ( 0.14 nel caso di 0.05 )
come a dire che si sta testando tra 0.05 ( correlazione perfetta ) e 0.14 ( indipendenza ).